UTM-Zonen-Transformation

[Roland Ziegler]

Spätestens seit Braunschweig ist der Kreis der Zusianer gestiegen, die Zweifel an der Form der Erde als Scheibe haben, allen unseren TK50, Gauß-Krüger-Gleisplänen und UTM-basierten Zusi-Strecken zum Trotz.

Außerdem haben wir gelernt, dass wir in Zonen leben, soweit es UTM betrifft. Denn nur innerhalb einer Zone soll das mit der ebenen Gestalt der Erdoberfläche gelten.

Was aber wird nun sein, wenn jemand auf die Idee kommt, die Zonengrenze zu überschreiten, zum Beispiel von Geilenkirchen aus in den Selfkant bauen will, oder von Halle nach Leipzig? Dann spielt sich seine Strecke in zwei Zonen ab, mit Koordinaten, die überhaupt nicht zueinander passen wollen.

Da hilft nur eins: Eine Transformation, von einer Zone in die andere. So bleibt nur eine Zone übrig. (Den Fall, dass die Stecke 500km Länge in Ost-West-Richtung überschreitet und drei Zonen umfasst, lassen wir mal außen vor.)

Die Umrechnung zwischen den Zonen ist nicht trivial, aber verfügbar. Für xyz-Daten kann der SK es schon lange, und für jedermann nutzbar ist die Zonentransformation für DEMs und die Streckenvisualisierung in TransDEM eingebaut.

Doch zurück zur Scheibe. Wenn man die Zonen transformieren kann und so die Ausdehnung einer UTM-Zone anscheinend beliebig vergrößern, dann ist die Erde vielleicht doch nicht so gekrümmt, wie uns immer erzählt wird?

Leider doch, denn diese Vergrößerung der UTM-Zone kommt mit einer gewissen Verzerrung daher, die durch Plattklopfen der Erdoberflächen-Apfelsinenschale entsteht.

Aber, und große Erleichterung, der Effekt hält sich in Grenzen. Dazu ein Beispiel. Gegeben sei eine 1 Quadratkilometer große Fläche in Aachen. Diese wunderschöne Stadt liegt bekanntlich am westlichen Rand von UTM-Zone 32. Nun wird diese Fläche in Zone 33 transformiert, zum Bau der Verbindung Aachen - Frankfurt/Oder. (Im realen Fall würde man, wenn die Strecke wirklich so lang werden soll, die Zone 33 in die Zone 32 transformieren, weil der größere Anteil in Zone 32 liegt.)

Hier nun die Ergebnisse dieser Transformation:

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Punkt 1 (32) =   295000.00  5629000.00, Punkt 1 (33) =  -127541.08  5662897.30
Punkt 2 (32) =   296000.00  5629000.00, Punkt 2 (33) =  -126540.10  5662815.54
Punkt 3 (32) =   296000.00  5630000.00, Punkt 3 (33) =  -126458.33  5663816.52
Punkt 4 (32) =   295000.00  5630000.00, Punkt 4 (33) =  -127459.31  5663898.29

Länge 1-2 = 1004.318 m
Länge 2-3 = 1004.312 m
Länge 3-4 = 1004.317 m
Länge 4-1 = 1004.322 m

Winkel 1-2-3 =  89.999742°
Winkel 2-3-4 =  89.999665°
Winkel 3-4-1 =  90.000262°
Winkel 4-1-2 =  90.000331°

Fläche = 1.008653 qkm

Die Längen wachsen. Aus vorher 1000 m werden 1004,3 m. Das ist das Ergbenis des Plattklopfens. Aber es sind nur 4 Promille. Bezogen auf z.B. 4 m Gleisabstand wären es nur 17 mm.

Was auch wichtig ist: Die Winkel bleiben erhalten, auf mehrere Stellen nach dem Komma. Der rechteckige Grundriss bleibt imnmer noch ein exaktes Rechteck. (Wer sich mal mit MSTS-Strecken auseinandergesetzt hat, weiß, dass genau dieses auf Grund der bei MSTS verwendeten Goode-Homosoline-Projektion eben nicht passt.)

Die Fläche wird natürlich auch um ein Eckchen größer, aber das konnte man bei konstanten Winkeln aus den größeren Längen schon erahnen.

Fazit: UTM-Zonen-Transformation mag für einige Strecken, die Zonengrenzen überschreiten, ein notwendiger Rechenschritt werden, eine wahrnehmbare Verzerrung wird dabei auch für zukünftig mögliche größere Dimensionen von Zusi-Strecken aber nicht auftreten.

[Carsten Hölscher]

ist dieser Beitrag durch ein gewisses Telefonat inspiriert worden?

Carsten

[Roland Ziegler]

Überhaupt nicht .

Lies sich aber heute zwischendurch mal testen und war ergiebiger als das Verfolgen irgendwelcher Mouse-Mouves und xor-Draws mit invalidated Regions, bei denen die Koordinaten nicht zu stimmen scheinen.

[Christian Gründler]

Hallo Roland,

interessant. Gefühlsmäßig hätte ich gedacht, daß bei einer derartigen Verbreiterung der UTM-Zonen (immerhin hast Du die Zone 33 nach Westen ja dreimal so breit gamacht wie normal) schlimmere Abweichungen die Folge sind.

Da hilft nur eins: Eine Transformation, von einer Zone in die andere. So bleibt nur eine Zone übrig.

Nicht unbedingt. Im Grunde sind ja nur Objekte (wie z.B. Streckenelemente) betroffen, die sich von einer in die andere Zone erstrecken; deren Länge ist aber erheblich kürzer als eine Zonenbreite. Da sollte es eine einfache Umrechnung geben: Nordwert bleibt, Ostwert neu = Ostwert alt minus (Zahl abhängig von der geografischen Breite). Oder ist das doch nicht so einfach?

Was auch wichtig ist: Die Winkel bleiben erhalten, auf mehrere Stellen nach dem Komma.

Das walte Mercator!

M.f.G. Christian

[Roland Ziegler]

Gefühlsmäßig hätte ich gedacht, daß bei einer derartigen Verbreiterung der UTM-Zonen (immerhin hast Du die Zone 33 nach Westen ja dreimal so breit gamacht wie normal) schlimmere Abweichungen die Folge sind.

Ich auch. Gerade, weil die original UTM-6°-Zonen ja schon größere Verzerrungen als die GK-3°-Zonen mit sich bringen müssen, und deswegen schon Skalierungsfaktoren eingesetzt werden (0.9996 für UTM, 1 für GK) um solche Verzerrungen zu teilweise zu kompensieren.

Nordwert bleibt, Ostwert neu = Ostwert alt minus (Zahl abhängig von der geografischen Breite). Oder ist das doch nicht so einfach?

Wie man an den transformierten Nordwerten der 4 Punkte sieht (die jeweils zweiten Werte mit 56 anfangend), stimmen die nicht überein. Deine Umrechnung würde korrekt sein für alle Punkte auf den Mittelmeridianen der jeweiligen Zone. Man kann die tatsächlichen Verhältnisse erkennen, wenn man eine Karte mit UTM- oder GK-Gitter hat, die einen Zonenwechsel beinhaltet (bei der Top50 ggf auf die 1:1Mio Karte gehen): Die Zylinderstreifen der Zonen stoßen schräg aufeinanander.

Auch in TransDEM kann man den Effekt sehen. Man transformiere dort einmal ein kleines DEM in die UTM-Nachbarzone, und blende dann nacheinander UTM-Gitter und Längen/Breiten-Gitter ein. Man wird feststellen, dass die Projektion in die verschiedenen Zonen Rotationswinkel mit unterschiedlichem Vorzeichen aufweisen wird.

Der einfachste und von mir implementierte Weg scheint zu sein, zunächst die Rücktransformation der UTM-Projektion auf die Oberfläche des Ellipsoiden anzuwenden und dann die erneute Vorwärtstransformation in eine künstlich verbreiterte Zone. Für die Manipulation der Vorwärtstranformation ist es einfache Arithmetik mit der geogr. Länge und beeinflusst nicht die Projektion selbst.

Das walte Mercator!

Ich bin mir nicht so sicher, ob die Mercator'sche Winkeltreue hier wirklich weiterhilft. Meines Wissens gilt sie doch nur für die Tangenten der Ortskurven, also für die 1. Ableitung. Für die klassische Mercator-Projektion der Seekarte mit vertikalem Zylinder und der Kugel als Ausgangsbasis entsteht auf der Karte ein rechtwinkliges, in Nordrichtung allerdings nicht lineares Koordinatensystem. Dann würde es passen.

Bei der transversalen Mercator, also UTM oder Gauß-Krüger mit zonenweisen Zylindern, deren Achsen den Äquator schneiden, ist es nicht so. Folie 11 aus meines Braunschweig-Manusskripts gibt eine Vorstellung. Im Bild mit SRTM-Daten halb Deutschlands wird deutlich, dass die Meridiane und Breitengrade kein rechtwinkliges System bilden, und trotzdem ist Winkeltreue gewährleistet.

Die transformierte Quadratkilometer-Kachel wird in der anderen Zone zu einem unregelmäßigen Viereck. Die absoluten Eckwinkel dieses Vierecks können daher keine rechten mehr sein. Nur - im Rahmen der Betrachtungsgenauigkeit dürfen wie diese Abweichung beruhigt vernachlässigen.

Und das sieht halt bei MSTS ganz anders aus. Dessen Projektion weist in England z.B. Winkelfehler von 2° gegenüber UTM auf, und zwar ohne, dass Zonen künstlich aufgebläht werden. Alle Rechtecke werden zu Parallelogrammen. Die Hersteller von TsTools haben versucht, diesen Projektions-Fehler durch Einzel-Objekt-Transformation zu umgehen, aber das Grundproblem bleibt.

[Christian Gründler]

Hallo Roland,

daß "meine" Transformation für das Quadrat in Aachen nicht gilt ist mir durchaus klar. Aber eigentlich wollen wir ja keine Deutschlandkarte zeichnen sondern eine Zusi-Strecke bauen.

Nehmen wir mal an, ein Modul endet genau an einer Zonengrenze und das nächste Modul beginnt dort. Dann wird der Endpunkt des einen Streckenelements an der Schnittstelle die gleiche Nord-Koordinate haben wie der Anfangspunkt des folgenden Streckenelements (falls wir richtig gebaut haben); die Ostwerte werden eine Differenz aufweisen, die abhängig von der geografischen Breite ist.

Falls wir jetzt das zweite Modul mit genau dieser Differenz in das Koordinatensystem des erste Moduls reinladen sollte eigentlich alles zumindest in sehr guter Näherung stimmen. Für die aneinander angeschlossenen Streckenelemente sowieso. Für Objekte nördlich und südlich davon nicht mehr ganz genau – aber wie groß kann die Ungenauigkeit bei einer maximalen Nord-/Süd-Ausdehnung des von uns modellierten Geländes von weniger als +/- 10 km schon sein? (Ich unterstelle, daß die Strecke dort in etwa west-östlich verläuft).

Anders ausgedrückt: falls die Module in sich stimmig sind – wie groß können bei dieser vereinfachten Transformation die Differenzen unmittelbar an der "Bruchstelle" denn werden?

Bleibt das Problem der Winkeltreue: ist es denkbar, daß die betrachteten Streckenelemente einen Knick ergeben, obwohl sie in Wirklichkeit fluchten sollten? Falls ja, wie groß ist dieser Winkel? (Vermutlich sehr klein, denn wenn Winkelverzerrungen hunderte von Kilometern außerhalb einer UTM-Zone vernachlässigbar gering sind, werden sie es am Rande der Zone wohl auch sein.)

M.f.G. Christian

[Roland Ziegler]

Ich würde mal schätzen, der Schnittwinkel an der Zonengrenze beträgt etwa 4 - 5° in unseren Breiten. Ich gebe Dir recht, dass man in unmittelbarer Nähe der Grenze mit einfacher Translation/Rotation arbeiten könnte, aber eben unter der Voraussetzung, dass man zur Bezugsbreite den exakten Schnittwinkel, das gemeinsame Northing und die beiden Eastings für zumindest ein Koordinatenpaar kennt. Heißt also, für zumindest diesen einen Punkt müssen die Projektionen für beide Zonen berechnet werden. Das wäre der Bezugspunkt und die einfache Transformation würde sich daran ausrichten.

Trotzdem würde ich immer für eine vollständige Transformation plädieren. Der Vorteil davon ist, dass ich auf den Bezugspunkt verzichten kann, die Transformation bleibt universell. Der sich durch überbreite Zonen ergebende Verzerrungsfehler bleibt reversibel, d.h. bei Rückprojektion in die Originalzone verschwindet er.

Damit ist es prinzipiell möglich, sehr lange Ost-West-Strecke zu bauen, ohne sich vorher Gedanken machen zu müssen, an welcher Stelle Teilmodule später verknüpft werden sollen. Das Modul Aachen und das Modul Frankfurt/Oder können unabhängig voneinander entstehen und prinzipiell sogar auf Dauer unabhängig voneinander gepflegt werden. Denkbar wäre sogar, dass die Transformation im Simulator on-the-fly beim Laden erfolgt, wäre da nicht der etwas erhöhte Rechenbedarf.

Das gleiche Ziel hat man ja auch beim MSTS verfolgt, mit jener Goode-Homolosine-Projektion, einer einheitlichen Projektion für die gesamten Landflächen der Erde, unter Inkaufnahme nicht ganz zu vernachlässigender Verzerrungen.

[Christian Gründler]

Hallo Roland,

ich habe noch mal über den Begriff "Winkeltreue" nachgedacht und glaube inzwischen zu verstehen, warum die Winkeltreue der klassischen Merkatorprojektion für eine entsprechende transversale Projektion nicht gilt (liegt m.E. im Prinzip daran daß die Breitenkreise im Gegensatz zu den Meridianen keine Großkreise sind - worauf soll sich also der Winkel beziehen?). Und damit müssten die von Dir genannten ca. 5° an der Schnittstelle wohl tatsächlich durch eine entsprechende Rotation ausgeglichen werden .

Trotzdem ist es verblüffend daß ein Quadrat auch in großer Entfernung vom Bezugsmeridian noch ein Quadrat bleibt – eine Abweichung in der vierten Nachkommastelle läßt sich evtl. auch mit Rechenungenauigkeit begründen. (Außerdem hat ein Quadrat auf der Erdoberfläche ja sowieso nicht genau 360° als Winkelsumme.) Es wäre vielleicht mal interessant, ein Quadrat auf den Azoren in die UTM-Zone 33 zu transformieren.

M.f.G. Christian

EDIT: eben fällt mir ein - die Azoren sind relativ nahe am Äquator und daher vielleicht nicht so signifikant. Evtl. Grönland .

[Roland Ziegler]

Hallo Christian,

irgendwo gestern noch mal nachgelesen: Winkeltreue bezieht sich, wie behauptet, auf den Schnittwinkel von Ortskurven, und dort auch nur auf die Tangenten im Schnittpunkt. Dieser Winkel wird betrachtet im Original und in der Transformation. Bleibt der Winkel zwischen den Tangenten erhalten, gilt die Transformation als winkeltreu.

Hab' es mal für Koordinaten in Nordnorwegen ausprobiert. Der Längenfehler wird größer, die Winkel bleiben - wobei ich schon über zwei Zonen tranformieren musste, werden doch die Zonen dort arg schmal (was in der Realität und auch in TransDEM zum künstlichen Verbreitern/Weglassen von Zonen führt, weil sich das die Skandinavier so haben einfallen lassen für UTM).

Vergrößere ich aber das Quadrat signifikant, wird das Ergebnis weniger vorhersehbar, anscheinend wirken dann mehrere Effekte.

Rechenungenauigkeiten sind immer drin. Die Winkelfunktionen liefern etwa 12 Dezimalstellen (bei double), jedoch haben Hin- und Rücktransformation immer Fehler von weniger als 1 mm ergeben. (Da die Rechenwege vollkommen getrennt sind, kompensiert sich da nichts.) Vielmehr verstärkt sich der Trend in der Abweichung vom rechten Winkel mit zunehmender Kantenlänge, wie auch zu erwarten.

[Christian Gründler]

Winkeltreue bezieht sich, wie behauptet, auf den Schnittwinkel von Ortskurven, und dort auch nur auf die Tangenten im Schnittpunkt. Dieser Winkel wird betrachtet im Original und in der Transformation. Bleibt der Winkel zwischen den Tangenten erhalten, gilt die Transformation als winkeltreu.

Hallo Roland,

das Schlimmste ist doch immer Halbwissen - danke für die Aufklärung! Jetzt habe ich es hoffentlich geschnallt.....

M.f.G. Christian

[Roland Ziegler]

Tröste Dich, Christian, auch ich lese mir das nötige Wissen immer erst dann an, wenn ich etwas diesbezügliches umsetzen will. Den einen oder anderen Aha-Effekt muss ich dabei billigend in Kauf nehmen.